היסטוריה של ההיגיון

פיתוח תורת המודל

תוצאות כמו אלה שהושגו על ידי גודל וסקולם היו סמנטיות באופן בלתי נתפס - או, כפי שרוב הלוגיסטים יעדיפו לומר, תיאורטי מודל. עם זאת לא פותחה שום תיאוריה כללית של סמנטיקה לוגית במשך זמן מה. הפילוסוף יליד גרמניה רודולף קרנאפ ניסה להציג תיאוריה שיטתית של סמנטיקה ב- Logische Syntax der Sprache (1934; התחביר הלוגי של השפה), מבוא לסמנטיקה (1942), ומשמעות ונחיצות (1947). עבודתו בכל זאת זכתה לביקורת פילוסופית חריפה, במיוחד מצד קווין, שהרתיע את לוגיקאים אחרים להמשיך בגישתו של קארנאפ.

האדריכלים המוקדמים של מה שמכונה כיום תיאוריית המודל היו טרסקי והמתמטיקאי יליד גרמניה אברהם רובינסון. ההתעניינות הראשונית שלהם הייתה בעיקר בתיאוריית המודל של מערכות אלגבריות שונות, ומטרתם הסופית הייתה אולי סוג כלשהו של אלגברה אוניברסלית, או תיאוריה כללית של מבנים אלגבריים. עם זאת, תוצאה של עבודה אינטנסיבית של טרסקי ומקורביו בסוף שנות החמישים ותחילת שנות ה -60 לא הייתה כל כך תיאוריה כללית אלא שפע של מושגים ושיטות תיאורטיות מודליות. חלק מהמושגים הללו עסקו בסיווג דגמים מסוגים שונים - למשל "עניים" (מודלים אטומיים) או "עשירים" (מודלים רוויים). מחקרים מורחבים יותר על סוגים שונים של דגמים בוצעו במה שמכונה תורת היציבות, בעיקר בגלל הלוגיקן הישראלי סהרון שלח.

התפתחות חשובה בתורת הדוגמניות הייתה תיאוריית הלוגיקה האינפינרית, שהייתה חלוצה בהשפעת טרסקי על ידי הלוגיקן האמריקני קרול קרפ ואחרים. נוסחה לוגית יכולה להיות אינסופית בדרכים שונות. בתחילה טופלו באינסוף רק בקשר לחיבורים ולצירופים ארוכים עד אינסוף. מאוחר יותר אושרו רצפים ארוכים עד אינסוף של כימות. עדיין מאוחר יותר, נחקרו לוגיקה שבהן יכולות להיות שרשראות ארוכות לאין שיעור של פורמולות משנה מכל סוג. עבור משפטים כאלה לא ניתן להשתמש בהגדרות האמת מסוג טרסקי, מכיוון שהם מניחים קיומן של נוסחאות אטומיות מינימליות שבאמצעותן מוגדרת אמת בנוסחאות ארוכות יותר. הלוגיקה האינפיניטיבית עוררה אפוא פיתוח של הגדרות אמת שאינן מחוברות, אשר נוסחו בתחילה מבחינת הרעיון של משחק בחירה.

השימוש במשחקים להגדרת האמת הביא בסופו של דבר להתפתחות תחום שלם של סמנטיקה, המכונה סמנטיקה תיאורטית-משחקית, שהגיעה ליריבות תיאוריות סמנטיות מסוג טרסקי (ראו תורת המשחקים). המשחקים המשמשים להגדרת האמת בסמנטיקה זו אינם משחקי משפט רשמיים המוכיחים אלא הם משוחקים "בחוץ" בקרב האנשים ביקום השיח הרלוונטי.

ממשקים של תורת ההוכחה ותורת המודל

כמה מההתפתחויות החשובות ביותר בלוגיקה במחצית השנייה של המאה העשרים כללו רעיונות הן מתורת ההוכחה והן מתורת המודל. לדוגמה, בשנת 1955 גילו אברט ו 'בת' ואחרים כי ניתן לפרש הוכחות מסוג ג'נטזן כמבנים מתוסכלים של מודל נגדי. (אותה פרשנות הוצעה באופן עצמאי לטכניקת הוכחה מקבילה הנקראת שיטת העץ על ידי הפילוסוף הפיני ג'אקו הינטיקקה.) כדי להראות ש- G היא תוצאה הגיונית של F, מנסים לתאר בצורה שלב אחר שלב מודל בו F נכון אבל G שקר. מכשיר לניהול חשבונות למבנים כאלה כונה על ידי בת 'טבלה סמנטית, או שולחן. אם הניסיון לבנות דוגמה נגדית מוביל למבוי סתום בצורה של סתירה מפורשת לכל הכיוונים האפשריים, G לא יכול שלא להאמין אם F הוא; במילים אחרות, G הוא תוצאה הגיונית של פ. מסתבר שהכללים של בניית הטאבלו זהים תחבירית עם כללי רצף רצוף מסוג Gentzen החתומים הנקראים בכיוון ההפוך.

רעיונות מסוימים שמקורם בהקשר של תורת ההוכחה ההילברטינית הובילו לתובנות הנוגעות למשמעות התיאורטית המודלית של כמויות השפה הרגילה כל אחת ואחת (וכמובן המקבילות הסמליות שלהן). אחת השיטות בהן השתמשו הילברט ומקורביו הייתה לחשוב על תפקידם של הכמתים כביצוע על ידי מונחי בחירה מתאימים, אותם הגדיר הילברט מונחי אפסילון. הרעיון המוביל בא לידי ביטוי בערך כדלקמן. ניתן להבין את ההיגיון בהצעה קיומית כמו "מישהו שבר את החלון" על ידי לימוד המשפט המייגע המקביל "ג'ון דו שבר את החלון", שם "ג'ון דו" לא מתייחס לאף אחד מסוים אלא במקום זאת עומד לאדם לא ידוע אולי מי עשה את זה. (אנשים כאלה שנקבעו לדוגמה נקראים לפעמים "אנשים שרירותיים".) הילברט נתן כללים לשימוש במונחי אפילון והראה כי ניתן להחליף את כל הכמתים עליהם.

חשבון אפסילון שהתקבל ממחיש את ההיבטים הדינמיים של משמעות הכמתים. בפרט, המשמעות שלהם לא מוצה מהרעיון שהם "נרחבים" על סוג מסוים של ערכים. תפקידם העיקרי הנוסף של כמויות הוא לציין תלות בין משתנים מבחינת התלות הפורמלית בין הכימותים אליהם קשורים המשתנים. למרות שאין משתנים בשפה הרגילה, ניתן להשתמש בדוגמה מילולית כדי להמחיש את הרעיון של תלות כזו. בכדי שהמשפט "לכל אחד יש אויב אחד לפחות" יהיה נכון, לכל אדם נתון צריך להתקיים לפחות "יחיד עד" שהוא אויבו. מכיוון שזהותו של האויב תלויה בפרט הנתון, ניתן לראות בזהות האויב כערך של פונקציה מסוימת שלוקחת את הפרט הנתון כוויכוח. זה בא לידי ביטוי טכנית באומרו בפשטות, שבמשפט לדוגמא, הכמת כמה תלוי בכמת כולם.

הפונקציות המנסחות את תלות המשתנים זה בזה במשפט של היגיון מסדר ראשון, נחשבו לראשונה על ידי Skolem ונקראות פונקציות Skolem. חשיבותם באה לידי ביטוי בכך שאפשר להגדיר אמת למשפטים מהסדר הראשון מבחינתם: משפט מסדר ראשון נכון אם ורק אם קיים מערך מלא של פונקציות Skolem שלו. באופן זה ניתן לטפל ברעיון האמת במצבים בהם הגדרות האמת מסוג טרסקי אינן ישימות. למעשה, לוגיקאים השתמשו באופן ספונטני בהגדרות של פונקצית סקולם (או המקבילות שלהם) כאשר ההגדרות מסוג טרסקי נכשלות, בין אם משום שאין נקודות התחלה לסוג החזרתיות בהן משתמש טרסקי ובין אם בגלל כישלון של קומפוזיציות.

כאשר מתברר כיצד ניתן להשתמש ביחסי תלות בין כמתים לייצוג יחסי תלות בין משתנים, מתברר גם כי הטיפול שהתקבל בכמתים החוזרים לפרגה וראסל לקוי בכך שלא ניתן לייצג דפוסי תלות רבים ואפשריים באופן מוחלט זה. הסיבה היא כי היקפי הכמתים בעלי מבנה מוגבל המגביל את התבניות שהם יכולים לשחזר. כאשר מוסרים באופן שיטתי מגבלות אלה, ניתן להשיג היגיון עשיר יותר המכונה היגיון מסדר ראשון "ידידותי לעצמאות", אשר הוחשף לראשונה על ידי Jaakko Hintikka בשנות התשעים. חלק מהמושגים הלוגיים והמתמטיים הבסיסיים שאינם באים לידי ביטוי בלוגיקה מסדר ראשון רגילים התבטאו בלוגיקה ידידותית לעצמאות ברמה מסדר ראשון, כולל שוויוניות, אינסוף ואמת. (אם כן, האמת לשפה מסודרת ראשונה נתונה יכולה לבוא לידי ביטוי באותה שפה ממדרגה ראשונה.) הגדרת אמת אפשרית מכיוון שבגיון הידידותי לעצמאות, האמת אינה תכונה קומפוזיציונית. גילוי לוגיקה ידידותית לעצמאות הוביל לבחינה מחודשת של היבטים רבים של התיאוריה הלוגית העכשווית.