הגיאומטריה של גשר האשנים

ייתכן שההצעה החמישית של אוקליד בספר הראשון באלמנטים שלו (לפיה זוויות הבסיס במשולש שפה ישראלית שווים) נקראה גשר האסנים (לטינית: Pons Asinorum) לתלמידים מימי הביניים, שברור שלא נועדו לעבור למופשט יותר מתמטיקה, התקשו להבין את ההוכחה - או אפילו את הצורך בהוכחה. שם אלטרנטיבי למשפט מפורסם זה היה אלפוגה, שאותו כתב רוג'ר בייקון, בערך 1250, מהמילים היווניות המעידות על "בריחה מסבל". תלמידי בית הספר מימי הביניים לא בדרך כלל חרגו מגשר האשנים, אשר סימנו בכך את החסימה האחרונה שלהם לפני השחרור מהאלמנטים.

1. ניתנת לנו ש- CABC הוא משולש שולי שדה-כלומר AB = AC.

2. הרחב את הצדדים AB ו- AC ללא הגבלת זמן הרחק מ- A.

3. עם מצפן שבמרכזו A ופתוח למרחק גדול יותר מ- AB, סמן את AD על AB מורחב ו- AE על AC מורחב כך AD = AE.

4. ∠DAC = ∠EAB, מכיוון שזו אותה זווית.

5. לכן, ΔDAC ≅ ΔEAB; כלומר, כל הצדדים והזוויות המתאימים של שני המשולשים שווים. על ידי דמיין משולש אחד שיוחל על גבי אחר, טען אוקליד כי השניים הם הליכים אם שני הצדדים והזווית הכלולה של משולש אחד שווים לשני הצדדים המתאימים וכלול הזווית של המשולש השני (המכונה צד הזווית הצדדית) משפט).

6. לכן ∠ADC = ∠AEB ו- DC = EB, לפי שלב 5.

7. עכשיו BD = CE כי BD = AD - AB, CE = AE - AC, AB = AC, ו- AD = AE, הכל על פי בנייה.

8. ΔBDC ≅ ΔCEB, לפי משפט זווית-צדדית של שלב 5.

9. לכן, ∠DBC = ∠ECB, לפי שלב 8.

10. מכאן ש- ∠ABC = ∠ACB מכיוון ש- ∠ABC = 180 ° - ∠DBC ו- ∠ACB = 180 ° - ∠ECB.