טריגונומטריה

טריגונומטריה של המטוס

ביישומים רבים של טריגונומטריה הבעיה המהותית היא פיתרון משולשים. אם ידועים מספיק צדדים וזוויות, ניתן לחשב את הצדדים והזוויות הנותרים, כמו גם את השטח, ואז נאמר כי המשולש נפתר. משולשים ניתנים לפתור על ידי חוק הקדושים וחוק הקוסינוסים. כדי להבטיח סימטריה בכתיבת חוקים אלה, זוויות המשולש באות A, B ו- C, ואורך הצדדים שמול הזוויות באות A, b ו- C בהתאמה.

חוק הסינוסים בא לידי ביטוי כשוויון המערב שלוש פונקציות סינוס ואילו חוק הקוסינוס הוא זיהוי של הקוסינוס עם ביטוי אלגברי הנוצר מאורכי הצדדים שמול הזוויות המקבילות. כדי לפתור משולש, כל הערכים הידועים מוחלפים למשוואות המבטאות את חוקי הסינוס והקוסינוס, והמשוואות נפתרות עבור הכמויות הלא ידועות. לדוגמא, חוק הסינוסים משמש כאשר ידועים שתי זוויות וצד או כאשר ידועים שני צדדים וזווית שמנגד. באופן דומה חוק הקוסינוס מתאים כאשר ידועים שני צדדים וזווית כלולה או ידועים שלושה צדדים.

טקסטים על טריגונומטריה גוזרים נוסחאות אחרות לפתרון משולשים ובדיקת הפיתרון. ספרי לימוד ישנים כללו לעתים קרובות נוסחאות המתאימות במיוחד לחישוב לוגריתמי. אולם, ספרי לימוד חדשים יותר כוללים לעתים קרובות הוראות מחשב פשוטות לשימוש בתוכנית מתמטית סמלית.

טריגונומטריה כדורית

טריגונומטריה כדורית כוללת לימוד משולשים כדוריים, הנוצרים על ידי צומת של שלוש קשתות עיגול גדולות על פני כדור. משולשים כדוריים היו נתונים למחקר אינטנסיבי מימי קדם בגלל השימושיות שלהם בניווט, קרטוגרפיה ואסטרונומיה. (ראה לעיל מעבר לאירופה.)

זוויות המשולש הכדורית מוגדרות על ידי זווית ההצטלבות של קווי המשיק המתאימים לכל קודקוד. סכום הזוויות של משולש כדורית תמיד גדול מסכום הזוויות במשולש מישור (π רדיאנים, שווה ערך לשתי זוויות ישרות). הסכום בו כל משולש כדורית עולה על שתי זוויות ישרות (ברדיאנים) ידוע כעודף הכדורית שלו. שטח המשולש הכדורי ניתן על ידי תוצר העודף הכדורי E שלו וכיכר הרדיוס r של הכדור עליו הוא שוכן - בסמלים, Er ².

על ידי חיבור קודקודי המשולש הכדורי למרכז O של הכדור עליו הוא שוכן, נוצרת "זווית" מיוחדת המכונה זווית תלת-דרדית. הזוויות המרכזיות (המכונות גם זוויות dihedral) בין כל זוג מקטעי הקווים OA, OB ו- OC מסומנות בתווית α, β ו- γ כך שתואמות את הצדדים (קשתות) של המשולש הכדורית שכותרתו a, b ו- c, בהתאמה. מכיוון שלתפקוד טריגונומטרי של זווית מרכזית וקשתו התואמת יש אותו ערך, נוסחאות טריגונומטריה כדוריות ניתנות במונחים של הזוויות הכדוריות A, B ו- C ובאופן להחלפה, מבחינת הקשתות a, b ו- c ו- זוויות הסף האדיאלי α, β ו- γ. יתר על כן, לרוב הנוסחאות מהטריגונומטריה המישורית יש ייצוג אנלוגי בטריגונומטריה כדורית. לדוגמה, יש חוק כדוריים של קדושים וחוק כדוריים של קוסינוס.

כפי שתואר עבור משולש מישור, הערכים הידועים הכרוכים במשולש כדורית מוחלפים בנוסחאות הטריגונומטריה הכדוריות האנלוגיות, כמו חוקי קדושים וקוסינוסים, ומשוואות המתקבלות לאחר מכן נפתרות עבור הכמויות הלא ידועות.

יחסים רבים אחרים מתקיימים בין הצדדים והזוויות של המשולש הכדורי. ראוי להזכיר את האנלוגיות של נאפייר (נגזרות מהנוסחאות הטריגונומטריות הכדוריות של חצי זווית או של חצי צד), שמתאימות במיוחד לשימוש עם טבלאות לוגריתמיות.

טריגונומטריה אנליטית

טריגונומטריה אנליטית משלבת שימוש במערכת קואורדינטות, כגון מערכת הקואורדינטות הקרטזית המשמשת בגיאומטריה אנליטית, עם מניפולציה אלגברית של פונקציות הטריגונומטריה השונות כדי להשיג נוסחאות שימושי ליישומים מדעיים והנדסיים.

פונקציות טריגונומטריות של משתנה x אמיתי מוגדרות באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות של זווית. לדוגמה, sin x בו x הוא מספר אמיתי מוגדר כערך הסינוס של הזווית המכילה x רדיאנים. הגדרות דומות נעשות עבור חמשת הפונקציות הטריגונומטריות האחרות של המשתנה האמיתי x. פונקציות אלה מספקות את היחסים הטריגונומטריים שצוינו בעבר עם A, B, 90 ° ו- 360 ° והוחלפו על ידי רדיאנים x, y, ^π / ₂ ו- 2π, בהתאמה. התקופה המינימלית של שיזוף x ועריסה x היא π, וארבע הפונקציות האחרות היא 2π.

בחישוב מוצג כי sin x ו- cos x הם סכומים של סדרות כוח. ניתן להשתמש בסדרות אלה לחישוב הסינוס והקוסינוס של כל זווית שהיא. לדוגמא, לחישוב הסינוס של 10 °, יש צורך למצוא את ערך החטא ^π / ₁₈ מכיוון ש -10 ° הוא הזווית המכילה רדיאנים ^π / ₁₈. כאשר ^π / ₁₈ מוחלף בסדרה על ידי sin x, נמצא ששני המונחים הראשונים נותנים 0.17365, וזה נכון לחמישה מקומות עשרוניים עבור הסינוס של 10 °. על ידי לקיחת מספיק מונחים מהסדרה, ניתן להשיג נכון כל מספר של מקומות עשרוניים. ניתן להשתמש בטבלאות של הפונקציות לרישום הגרפים של הפונקציות.

לכל פונקציה טריגונומטרית יש פונקציה הפוכה, כלומר פונקציה ש"מבטלת "את הפונקציה המקורית. לדוגמה, הפונקציה ההפוכה עבור פונקציית הסינוס כתובה arcsin או sin ⁻¹, ולכן sin ⁻¹ (sin x) = sin (sin ⁻¹ x) = x. הפונקציות ההפוכות הטריגונומטריות האחרות מוגדרות באופן דומה.

קואורדינטות והפיכת קואורדינטות