מתמטיקה של משוואת Laplace

משוואת Laplace, משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני, שימושית ברבים בפיזיקה מכיוון שהפתרונות שלה R (המכונים פונקציות הרמוניות) מתרחשים בבעיות של פוטנציאלים חשמליים, מגנטיים וכבידה, של טמפרטורות במצב יציב ושל הידרודינמיקה. את המשוואה התגלה המתמטיקאי והאסטרונום הצרפתי פייר-סימון לאפלס (1749–1827).

עקרונות המדע הגופני: סטיות ומשוואת לפלס

כאשר המטענים אינם נקודות מבודדות אלא יוצרים חלוקה רציפה כאשר צפיפות המטען המקומית ρ היא היחס בין המטען δ

המשוואה של לפלס קובעת כי סכום הנגזרות החלקיות מסדר שני של R, הפונקציה הלא ידועה, ביחס לקואורדינטות הקרטזיות, שווה לאפס:

הסכום בצד שמאל מיוצג לעתים קרובות על ידי הביטוי ∇ ² R, בו הסמל ∇ ² נקרא Laplacian או מפעיל Laplace.

מערכות פיזיות רבות מתוארות בצורה נוחה יותר על ידי שימוש במערכות קואורדינטות כדוריות או גליליות. ניתן לשנות מחדש את המשוואה של לפלס בקואורדינטות אלה; לדוגמה, בקואורדינטות גליליות, המשוואה של לפלס היא